異種微分積分學 (alternative calculi)
微分積分學
微分$ f'(x):=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h
不定積分$ \int f'(x)dx=f(x)+C
和分差分學
差分 (前進差分)$ \Delta f(x):=f(x+1)-f(x)
等差數列$ f_{n+1}=f_n+a
不定和分$ \Delta^{-1}\Delta f(x)=f(x)+C
非 Newtonian 微分積分學
乘法的微分積分學
乘法的微分$ f^*(x):=\lim_{h\to 0}\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)^{\frac 1 h}
乘法的不定積分 (幾何積分)$ \int f^*(x)^{dx}=Cf(x)
$ \prod_a^b f(x)^{dx}:=\lim_{\Delta x\to 0}\prod f(x_i)^{\Delta x}=e^{\int_a^b\log f(x)dx}.
第二幾何積分$ \prod_a^b f(x)^{d(\log x)}:=e^{\int_{\log a}^{\log b}\log f(e^x)dx}
乘法的和分差分學
乘法的差分$ \frac{f(x+1)}{f(x)}
等比數列$ f_{n+1}=af_n
乘法的不定和分$ \prod_x\frac{f(x+1)}{f(x)}=Cf(x)
臺集合を弄る
q-解析
$ d_q f(x):=f(qx)-f(x).
$ \frac{d_q f(x)}{d_q x}:=\frac{f(qx)-f(x)}{(q-1)x}.
$ \lim_{q\to 1}の極限で古典的な微分になる
h-解析
$ d_h f(x):=f(x+h)-f(x).
$ \frac{d_h f(x)}{d_h x}:=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
$ \lim_{h\to 0}の極限で古典的な微分になる
階數を弄る
多變數
Volterra の積分
$ \prod_a^b(1+f(x)dx):=\lim_{\Delta x\to 0}\prod(1+f(x_i)\Delta x)=e^{\int_a^b f(x)dx}.
對數微分 (logarithmic derivative)
$ \frac{f'}f=(\log(f))'.
微分の一般化
微分形式
圈論的抽象微分幾何 (CADG。categorical abstract differential geometry)
forward mode (bottom up)
reverse mode (top down)
積分の一般化
積分の定義
區閒への分割による近似によるもの
分割 (partition)
點附き分割 (tagged partition)
區閒の有限個の區閒への分割と、各區閒の中の點とを指定する
分割の、細分 (refinement)
Riemann 積分
$ f>0に對して$ I=\int_a^b f(x)dxとは、$ \lbrack a,b\rbrackの點附き分割に細分の列を考へて$ \forall\varepsilon_{>0}\exist I_{>0}\left|\sum_{i=0}^{n-1}f(t_i)(x_{i+1}-x_i)-I\right|
広義 Riemann 積分
$ \lim_{b\to c}\int_a^b f(x)dx.
$ \int_0^\infty f(x)dx:=\lim_{b\to\infty}\int_0^b f(x)dx等を定義できる
広義 Riemann 積分可能だが Lebesgue 積分不能な函數が在る
gauge による一般化
gauge$ \delta:\lbrack a,b\rbrack\to(0,\infty)
可測集合への分割による近似によるもの
測度 (mesure)
公理$ \mu:A\to\lbrack0,\infty\rbrack
完全加法性 (可算加法性)$ E_i\cap E_j=\varphiである$ E_1,\cdotsに就いて$ \mu\left(\bigcup_i E_i\right)=\sum_i\mu(E_i)
Lebesgue 測度
可測集合
可測函數
可測空閒$ (X,\Sigma),$ (Y,T)に對して函數$ f:X\to Yが可測であるとは、$ \forall E_{\in T}~f^{-1}(E)\in\Sigma
單函數 (simple function)
集合$ A上の單函數$ f:A\to\Rとは、
$ Aを有限個の可測集合に$ A=S_1\sqcup\dots\sqcup S_nと分割できるとして
有限個の指示函數$ 1_{S_i}:S_i\to\{0,1\}の線形結合$ f=\sum_{i=1}^n a_i 1_{S_i}($ a_i\in\R) と表せる函數を言ふ
單函數$ f=\sum_{i=1}^n a_i 1_{S_i}の積分を$ \int_A f~d\mu:=\sum_{i=1}^n a_i\mu(S_i)と定義できる
Lebesgue 積分
$ f>0に對して$ \int_A f~d\mu:=\sup\{\int_A sd\mu|sはfの單函數による近似\}
gauge による一般化
基本積分によるもの
Daniell 積分
基本函數 (elementary function)
$ H\subseteq\{h|X\to\R,\exist\sup h(x),\exist\inf h(x)\}であり、線形$ h,k\in Hならば$ \alpha h+\beta k\in Hであり、$ h\in Hならば$ |h|\in Hである$ Hに就いて
基本積分 (elementary integral)
線形$ I(\alpha h+\beta k)=\alpha Ih+\beta Ik
非負$ \forall x~h(x)>0ならば$ Ih\ge 0
連續$ h_1,\cdotsが非增大で、各點收束$ h_n\to 0するならば、$ Ih_n\to 0
$ If=\lim_{n\to\infty}Ih_n.
方正函數 (regulated function) によるもの
方正積分
scalar 場$ f:U_{\subseteq\R^n}\to\Rを滑らかな曲線$ C_{\subset U}(積分路 (path)) に沿って線積分する。$ {\bf r}:\lbrack a,b\rbrack\to Cとして$ \int_C f~ds:=\int_a^b f({\bf r}(t))\left|\frac{d{\bf r}(t)}{dt}\right|dt
確率微分方程式の積分
$ L^p空閒
$ L^2空閒
$ L^\infty空閒
choquet 積分
菅野積分
經路積分
記號積分
數値積分
基礎