異種微分積分學 (alternative calculi)
微分積分學
微分$ f'(x):=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h
不定積分$ \int f'(x){\rm d}x=f(x)+C
和分差分學
漸化式 (recurrence relation。再歸關係式)
$ a_{n+1}=f(a_n,\dots,a_0)
差分方程式 (difference equation)
差分 (前進差分)$ \varDelta f(x):=f(x+1)-f(x)
等差數列$ f_{n+1}=f_n+a
不定和分$ \varDelta^{-1}\varDelta f(x)=f(x)+C
非 Newtonian 微分積分學
乘法的微分積分學
乘法的微分$ f^*(x):=\lim_{h\to 0}\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)^{\frac 1 h}
乘法的不定積分 (幾何積分)$ \int f^*(x)^{{\rm d}x}=Cf(x)
$ \prod_a^b f(x)^{{\rm d}x}:=\lim_{\Delta x\to 0}\prod f(x_i)^{\Delta x}=e^{\int_a^b\log f(x){\rm d}x}.
第二幾何積分$ \prod_a^b f(x)^{d(\log x)}:=e^{\int_{\log a}^{\log b}\log f(e^x){\rm d}x}
乘法的和分差分學
乘法的差分$ \frac{f(x+1)}{f(x)}
等比數列$ f_{n+1}=af_n
乘法的不定和分$ \prod_x\frac{f(x+1)}{f(x)}=Cf(x)
臺集合を弄る
q-解析
$ {\rm d}_q f(x):=f(qx)-f(x).
$ \frac{{\rm d}_q f(x)}{d_q x}:=\frac{f(qx)-f(x)}{(q-1)x}.
$ \lim_{q\to 1}の極限で古典的な微分になる (q-類似) $ \int f(x){\rm d}_qx:=(1-q)\sum_{j=0}^\infty xq^jf(xq^j)
h-解析
h-微分
$ {\rm d}_h f(x):=f(x+h)-f(x).
$ \frac{{\rm d}_h f(x)}{d_h x}:=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
$ \lim_{h\to 0}の極限で古典的な微分になる
h-積分
$ \int f(x){\rm d}_hx
fractale 微分$ \frac{{\rm d}f(x)}{{\rm d}x^a}=\frac 1{ax^{a-1}}\frac{{\rm d}f(x)}{{\rm d}x}
階數を弄る
半微分
多變數
Volterra の積分
$ \prod_a^b(1+f(x){\rm d}x):=\lim_{\varDelta x\to 0}\prod(1+f(x_i)\varDelta x)=e^{\int_a^b f(x){\rm d}x}.
對數微分 (logarithmic derivative) $ \frac{f'}f=(\log f)'
微分の一般化
圈論的抽象微分幾何 (CADG。categorical abstract differential geometry)
forward mode (bottom up)
reverse mode (top down)
積分の一般化
積分の定義
細分への分割による近似によるもの
方正函數 (regulated function) によるもの
方正積分
ヘンストック＝クルツヴァイル積分 (Henstock–Kurzweil integral)。一般化リーマン積分 (generalized Riemann integral)。gauge 積分 (gauge integral)。(狹義) ダンジョワ積分 (narrow Denjoy integral)。ペロン積分 (Perron integral)。ルージン積分(Luzin integral) 函數$ f:[a,b]\to\R について考へる
gauge$ \delta:\lbrack a,b\rbrack\to(0,\infty)
點附き分割$ (u,t),$ a=u_0<t_0<u_1<\dots<u_{n-1}<t_{n-1}<u_n=bが$ \delta-細 ($ \delta-fine) であるとは、全ての$ 0\le i<nに對して$ t_i-\delta(t_i)<u_i\le t_i\le u_{i+1}<t_i+\delta(t_i)となる事を言ふ
任意の$ \varepsilon>0に對して、適切な gauge$ \deltaが存在し$ \delta-細である任意の點附き分割$ (u,t)について$ \left|\sum_{i=0}^{n-1}f(t_i)(u_{i+1}-u_i)-s\right|<\varepsilonとできるならば、$ \int_a^b f(x){\rm d}x:=sを gauge 積分と言ふ マクシェイン積分 (McShane integral)
基本積分によるもの
基本函數 (elementary function)
$ H\subseteq\{h|X\to\R,\exist\sup h(x),\exist\inf h(x)\}であり、線形つまり$ h,k\in Hならば$ \alpha h+\beta k\in Hであり、$ h\in Hならば$ |h|\in Hである$ Hに就いて
基本積分 (elementary integral)
線形$ I(\alpha h+\beta k)=\alpha Ih+\beta Ik
非負$ \forall x~h(x)>0ならば$ Ih\ge 0
連續$ h_1,\cdotsが非增大で、各點收束$ h_n\to 0するならば、$ Ih_n\to 0 $ If=\lim_{n\to\infty}Ih_n.
scalar 場$ f:U_{\subseteq\R^n}\to\Rを滑らかな曲線$ C_{\subset U}(積分路 (path)) に沿って線積分するには、$ {\bf r}:\lbrack a,b\rbrack\to Cとして$ \int_C f{\rm d}s:=\int_a^b f({\bf r}(t))\left|\frac{{\rm d}{\bf r}(t)}{{\rm d}t}\right|dt $ L^\infty空閒
fuzzy 積分
記號積分
數値積分
基礎