異種微分積分學 (alternative calculi)
微分積分學
微分$ f'(x):=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h
不定積分$ \int f'(x)dx=f(x)+C
和分差分學
漸化式 (recurrence relation。再歸關係式)
$ a_{n+1}=f(a_n,\dots,a_0)
差分方程式 (difference equation)
差分 (前進差分)$ \Delta f(x):=f(x+1)-f(x)
等差數列$ f_{n+1}=f_n+a
不定和分$ \Delta^{-1}\Delta f(x)=f(x)+C
非 Newtonian 微分積分學
乘法的微分積分學
乘法的微分$ f^*(x):=\lim_{h\to 0}\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)^{\frac 1 h}
乘法的不定積分 (幾何積分)$ \int f^*(x)^{dx}=Cf(x)
$ \prod_a^b f(x)^{dx}:=\lim_{\Delta x\to 0}\prod f(x_i)^{\Delta x}=e^{\int_a^b\log f(x)dx}.
第二幾何積分$ \prod_a^b f(x)^{d(\log x)}:=e^{\int_{\log a}^{\log b}\log f(e^x)dx}
乘法的和分差分學
乘法的差分$ \frac{f(x+1)}{f(x)}
等比數列$ f_{n+1}=af_n
乘法的不定和分$ \prod_x\frac{f(x+1)}{f(x)}=Cf(x)
臺集合を弄る
q-解析
$ d_q f(x):=f(qx)-f(x).
$ \frac{d_q f(x)}{d_q x}:=\frac{f(qx)-f(x)}{(q-1)x}.
$ \lim_{q\to 1}の極限で古典的な微分になる (q-類似) $ \int f(x)d_qx:=(1-q)\sum_{j=0}^\infty xq^jf(xq^j)
h-解析
h-微分
$ d_h f(x):=f(x+h)-f(x).
$ \frac{d_h f(x)}{d_h x}:=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
$ \lim_{h\to 0}の極限で古典的な微分になる
h-積分
$ \int f(x)d_hx
fractale 微分$ \frac{df(x)}{dx^a}=\frac 1{ax^{a-1}}\frac{df(x)}{dx}
階數を弄る
半微分
多變數
Volterra の積分
$ \prod_a^b(1+f(x)dx):=\lim_{\Delta x\to 0}\prod(1+f(x_i)\Delta x)=e^{\int_a^b f(x)dx}.
對數微分 (logarithmic derivative)
$ \frac{f'}f=(\log f)'
微分の一般化
圈論的抽象微分幾何 (CADG。categorical abstract differential geometry)
forward mode (bottom up)
reverse mode (top down)
積分の一般化
積分の定義
區閒への分割による近似によるもの
基本積分によるもの
Daniell 積分
基本函數 (elementary function)
$ H\subseteq\{h|X\to\R,\exist\sup h(x),\exist\inf h(x)\}であり、線形つまり$ h,k\in Hならば$ \alpha h+\beta k\in Hであり、$ h\in Hならば$ |h|\in Hである$ Hに就いて
基本積分 (elementary integral)
線形$ I(\alpha h+\beta k)=\alpha Ih+\beta Ik
非負$ \forall x~h(x)>0ならば$ Ih\ge 0
連續$ h_1,\cdotsが非增大で、各點收束$ h_n\to 0するならば、$ Ih_n\to 0 $ If=\lim_{n\to\infty}Ih_n.
方正函數 (regulated function) によるもの
方正積分
scalar 場$ f:U_{\subseteq\R^n}\to\Rを滑らかな曲線$ C_{\subset U}(積分路 (path)) に沿って線積分するには、$ {\bf r}:\lbrack a,b\rbrack\to Cとして$ \int_C f~ds:=\int_a^b f({\bf r}(t))\left|\frac{d{\bf r}(t)}{dt}\right|dt $ L^p空閒
$ L^\infty空閒
記號積分
數値積分
基礎